Boundary of Words ​/ 12 Feburary 2009

Boundary of Words   ​

q.v. Zoho Paper. SIL

Topological Group Language Theory  

TANAKA Akio  

    

​

Preliminary Note 3  

Boundary of Words ​

​

​

[Theorem] ​

1 ​

Distance space     ( X , d) ​

Gromov product ( y | z ) x ​

2 ​

Hyperbolic space      X ​

point sequence     { x i  X } ​

Set of all the { x i  X }      S ∞ ( X ) ​

Point sequence of  X       { y i }     ​

When { y i } is lim i →∞ ( x i | y i ) = 0, { y i } is in  S ∞ ( X ). ​

​

​

[Explanation] ​

1 ​

Hyperbolicity for general distance space is defined by Gromov product. ​

Details are below. ​

2 ​

Distance space is defied by the next.  ​

Distance space that has basic point  x 0        ( X, d ) ​

Arbitrary 3 points of  X         x, y, z ​

When ( X, d ) satisfies the next, it is called  δ -hyperbolic. ​

( x | y ) x 0   min{( x | z)x 0 , ( y | z ) x 0 }- δ ​

When distance space ( X, d ) is  δ -hyperbolic for arbitrary base point,  X  is called  δ -hyperbolic. ​

Here for a certain   ,  δ -hyperbolic space is abbreviatedly called hyperbolic. ​

3 ​

The next condition is equivalent with what ( X, d ) is  δ -hyperbolic. ​

d ( x, y ) +  d ( z, w )    max{  d ( x, z ) +  d ( y, w ),  d ( x, w ) +  d ( y, z ) } +2 δ ​

4 ​

Distance space        X ​

Arc of X      α  : [0,  λ ] →  X ​

Arbitrary  s, t   [0,  λ ] ​

d ( α ( s ),  α (t)) = | s-t | ​

Arc  α  is called geodesic segment. ​

Geodesic segment from x to y that is x,y  X is expressed by   . ​

When arbitrary 2 points of distance space ( X , d) are combinable by geodesic segment,  X  is 

called geodesic space.  xyz  =     is called geodesic triangle. ​

​

​

[Impression] ​

1 ​

Word is identified with point sequence { x i  X }. ​

Language is identified with  S ∞ ( X ). ​

New generated word is identified Point sequence of  X , { y i } that has condition lim i →∞ ( x i | y i ) . ​

The new generated word is also in language, that is to say,  S ∞ ( X ). ​

2 ​

From the condition lim i →∞ ( x i | y i ), spherical surface is considered as boundary at infinity by 

the comparison with Poincaré model. ​

3 ​

Spherical surface is considered as the unit of language.  ​

Language's distance and warp is also considered under hyperbolic space. ​

References are below. ​

​

​

[References] ​

#1  Quantum Theorey for Language ​

#2  Distance Theory ​

#3  Warp Theory ​

The upper papers and the related papers with the themes are seen at  Sekinan Linguistuic 

Field . ​

​

​To be continued  

Tokyo February 12, 2009  

Sekinan Research Field of Language